Programma di base pre-MSc in matematica applicata

Il Pre-Master's Foundation Program (PMFP) in Applied Mathematics mira a omogeneizzare i portafogli di competenze dei futuri studenti dei due Master in Mathematical Modeling e Mathematical Engineering presso il University Of L'Aquila , che includono il programma Erasmus Mundus "InterMaths - Interdisciplinary Mathematics" , il Master congiunto "MathMods", e il programma Double Degree "InterMaths".

A seconda dei programmi di studio universitari dello studente e del sistema educativo nel loro paese di origine, gli studenti che si iscrivono a questi tre programmi possono presentare un insieme molto diversificato di competenze nelle discipline che caratterizzano questi programmi di Master. Il PMFP in Applied Mathematics è progettato per affrontare questo problema coprendo competenze specifiche sia in matematica teorica (analisi reale e algebra lineare) che in programmazione informatica. Per quanto riguarda la matematica teorica, l'obiettivo principale del PMFP è colmare il divario tra "calcolo" e "analisi reale", un problema tipico che si presenta abbastanza spesso per i futuri studenti di MSc con un background molto "applicato".

Il PMFM includerà argomenti molto basilari di analisi reale che permetteranno agli studenti di affrontare il calcolo infinitesimale con una rigorosa prospettiva di "analisi reale" (incluso l'uso di rigorose dimostrazioni matematiche). D'altra parte, gli studenti con un forte background "teorico" a volte mancano di programmazione di base e abilità computazionali. Pertanto, il PMFP fornisce un'introduzione di base alla programmazione informatica e in particolare all'ambiente informatico "MATLAB", ampiamente utilizzato nei corsi di analisi numerica dei corsi di laurea magistrale sopra menzionati.

moduli

Parte 1

• Un corso accelerato di algebra lineare

Spazi lineari, dipendenza lineare, basi di uno spazio lineare, dimensione di uno spazio lineare, sottospazi lineari.

Matrici, operazioni di base con le matrici, cambio di coordinate, determinanti, rango. Cenni sui sistemi lineari e sull'eliminazione di Gauss.

Diagonalizzazione di matrici quadrate, autovalori, autovettori. Prodotti interni, forme bilineari e forme quadratiche.

• Equazioni differenziali: Fondamenti

Introduzione generale alle equazioni differenziali, problemi di Cauchy.

Esistenza e unicità delle soluzioni. Teoremi di Peano e Cauchy. Esempi, il pennello di Peano.

Introduzione alle equazioni differenziali lineari. Esempi.

Cenni sull'analisi qualitativa dei problemi di Cauchy. Confronto di soluzioni, soluzioni massimali, esistenza globale di soluzioni, esplosione di soluzioni. Esempi.

• Analisi reale: fondamenti

Proposizione logica. Calcolo proposizionale.

Insiemi, operazioni sugli insiemi, relazioni, funzioni. La cardinalità di insiemi, insiemi numerabili, insiemi non numerabili. Insiemi di numeri elementari. Interi e razionali. Principio di induzione.

Ancora sulle funzioni: funzioni iniettive e suriettive, funzioni invertibili, immagine e pre-immagine.

L'insieme dei numeri reali. Assioma della separazione, tagli di Dedekind. Infimo e supremo. proprietà di Archimede. Numeri complessi: forma cartesiana e trigonometrica, proprietà di base, potenze, radici complesse, teorema fondamentale dell'algebra.

Successioni di numeri reali: successioni monotone, convergenza di una successione, sottosuccessioni, limsup e liminf di una successione, teorema di Bolzano-Weierstrass.

Introduzione alle funzioni dei numeri reali. Funzioni elementari: funzione esponenziale e logaritmica, funzioni trigonometriche, funzioni irrazionali. Funzioni monotone.

La topologia dei numeri reali: intervalli, semirette, insiemi aperti, insiemi chiusi. La topologia dello spazio euclideo Rn: sfere, insiemi aperti e chiusi. Insiemi compatti nello spazio euclideo.

Parte 2

• Introduzione a MATLAB

L'ambiente MATLAB, Programmazione informatica di base, Variabili e costanti, Operatori e calcoli semplici, Formule e funzioni. Cassette degli strumenti MATLAB.

Revisione di matrici e algebra lineare, Vettori e matrici in MATLAB, Operazioni matriciali e funzioni in MATLAB.

Algoritmi e strutture, script e funzioni MATLAB (m-file), algoritmi sequenziali semplici, strutture di controllo (if...then, loop).

Lettura e scrittura dati, gestione file, funzioni personalizzate, funzioni grafiche MATLAB. Sessioni interattive pratiche.

• Introduzione alla programmazione

Algoritmi, programmi e linguaggi di programmazione.

L'ambiente di apprendimento per il linguaggio di programmazione Python e Turtle Graphics. Comandi e sequenze di comandi. Scrivere ed eseguire un programma.

Iterazione definita. Procedure: definizione e chiamata di funzioni Python. Procedure con parametri.

Variabili e oggetti. Tipi di dati di base in Python. Espressioni.

Selezione, ricorsione e iterazione indefinita.

Strutture dati di base in Python: tuple, stringhe, elenchi, dizionari.